Números imaginarios

Los números imaginarios son algo que necesitamos para sacar la raíz cuadrada de un numero negativo. Con esto queremos decir que un numero imaginario "i" es igual a la raíz cuadrada de -1

i = √-1

Cómo expresar la raíz de un numero imaginario

Para esto sacaremos la raíz cuadrada de -16 para esto lo representamos como normalmente lo hacemos

√-16

Lo que procede en este momento es separar el negativo(-1) del 16

√-16 = √16√-1

Ya en este punto podemos sacar la raíz cuadrada de 16 y representamos la raiz cuadrada de -1 como i, esto quedaría así:

4√-1 = 4i

Suma y resta de números imaginarios

Ya que sabemos esto de los numeros imaginarios vamos a darles una utilidad y es suma y resta. Para esto solo se suman o restan los coeficientes de i es decir, si tenemos ai + bi - ci = (a + b - c)i. pero veamoslo en un ejemplo para dejarlo más claro.

tenemos √-36 + 4 √-9. Para realizar esto vamos a obtener los números imaginarios puros, es decir, sacar las raices. Esto nos quedaría de la siguiente manera

√-36 + 4 √-9 = 6i + 4(3i)

ya hemos representado la expresión donde sacamos la raiz cuadrada de los numeros imaginarios. Si tienes duda del porque 4 esta multiplicandose por 3i es porque en la expresión original el 4 esta multiplicando por √-9. hecho esto, procedemos a realizar las operaciones haciendo uso unicamente de los coeficientes. Esto nos dará:

6i + 4(3i) = 18i

Potencias de números imaginarios

Supongamos que tenemos i², En este caso se representa de la misma manera con la diferencia de que vamos a elevar al cuadrado.

i² = (√-1)² = -1

Notamos que el resultado es -1, esto se debe a la cancelación de las potencias(de la raiz cuadrada y de la potencia al cuadrado) dandonos como resultado lo ya dado. Pero si tenemos como potencia a 3 o 4 tenemos que hacer unos cambios.

i³ = i² x i = -1 x i= -i

i⁴ = i² x i² = (-1)(-1) = 1

Si nos fijamos en los ejemplos vimos que desglosamos la operación pero cuando tenemos una potencía mayor a 4 tenemos que agregar un paso extra. Se trata de seguir la siguiente formula

iⁿ = i^4m+k = i^k

Se puede decir que esta formula es dentro de lo que cabe simular a los ejemplos pasados, pero vamos a ver un ejemplo real para entenderlo mejor pero antes de eso, una de las cosas que tenemos que tener en cuenta es que "n" debe de ser mayor a 4 y k debe ser menor a 4

Tenemos i¹³ para ello vamos a utilizar la formula pasada.

i¹³ = i^{12 + 1}

Sustituimos la formula buscando un numero que multiplicado por 4 nos de 12

i¹³ = i⁴⁽³⁾⁺¹

Dandonos como resultado i elevado a k

i¹ = i

Teniendo en cuenta que sabemos como funcionan las potencias en un numero imaginario te invito a ver mi post sobre multiplicación y división de números imaginarios. Click aquí para ver